Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,} cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ ( x ) − sin 2 ⁡ ( x ) = 2 cos 2 ⁡ ( x ) − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,} tan ⁡ ( 2 x ) = 2 tan ⁡ ( x ) 1 − tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}} cot ⁡ ( 2 x ) = cot 2 ⁡ ( x ) − 1 2 cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}(x)-1}{2\cot(x)}}}

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

cos ⁡ ( n x ) = 2 cos ⁡ ( ( n − 1 ) x ) cos ⁡ ( x ) − cos ⁡ ( ( n − 2 ) x ) {\displaystyle \cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)}

Bội ba

Cơ bản

Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin ⁡ ( 3 x ) = 3 sin ⁡ x − 4 sin 3 ⁡ x {\displaystyle \sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x} cos ⁡ ( 3 x ) = 4 cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x {\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x}

Nâng cao

sin ⁡ ( 3 x ) = 4 sin ⁡ x sin ⁡ ( π 3 − x ) sin ⁡ ( π 3 + x ) {\displaystyle \sin(3x)=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}-x)\sin({\frac {\pi }{3}}+x)} cos ⁡ ( 3 x ) = 4 cos ⁡ x cos ⁡ ( π 3 − x ) cos ⁡ ( π 3 + x ) {\displaystyle \cos(3x)=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)} tan ⁡ ( 3 x ) = tan ⁡ x tan ⁡ ( π 3 − x ) tan ⁡ ( π 3 + x ) {\displaystyle \tan(3x)=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}-x)\tan({\frac {\pi }{3}}+x)}